Xeometría

Da Wikipedia, a enciclopedia libre.
Ir á navegación Ir á busca
Ilustración do século XIV: unha muller ensina xeometría

A xeometría (do latín geometrĭa e esta do grego antigo " γεωμετρία" , composta polo prefixo geo que fai referencia á palabra γή = "terra" e μετρία , metria = "medida", polo tanto traducida literalmente como medida da terra ) é esa parte da ciencia matemática que trata sobre as formas no plano e no espazo e as súas relacións mutuas.

Na parte inferior esquerda da táboa un debuxo ilustrativo do artigo de Lodovico Riva titulado Dissertatio meteorologica. Cui accedit Solutio & constructio duorum problematum geometricorum publicado no volume da Acta Eruditorum de 1736

Antecedentes

O nacemento da xeometría remóntase á época dos antigos exipcios . Heródoto di que, debido aos fenómenos de erosión e deposición debidos ás inundacións do Nilo , a extensión das propiedades exipcias variaba cada ano e, polo tanto, tivo que recalcularse para efectos fiscais. Así naceu a necesidade de inventar técnicas para medir a terra ( xeometría no significado orixinal do termo).

O desenvolvemento da xeometría práctica é moi antigo, debido ás numerosas aplicacións que permite e para as que foi desenvolvido, e en tempos antigos reservábase ás veces a unha categoría de eruditos con atribucións sacerdotais. Na Grecia antiga , principalmente debido á influencia do filósofo ateniense Platón e, incluso antes del, de Anaximandro de Mileto [ sen fonte ] , o uso do gobernante e do compás estendeuse masivamente (aínda que parece que estes instrumentos xa foran inventados noutros lugares) e máis arriba todo, naceu a nova idea de empregar técnicas de demostración. A xeometría grega serviu de base para o desenvolvemento da xeografía , a astronomía , a óptica , a mecánica e outras ciencias, así como diversas técnicas, como as de navegación .

Na civilización grega , ademais da xeometría euclidiana que aínda se estuda na escola, e a teoría das cónicas, a xeometría esférica e a trigonometría ( plana e esférica ) tamén naceron.

Xeometría euclidiana

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría euclidiana .
Euclides nos seus Elementos é o primeiro en formular unha descrición axiomática da xeometría.

A xeometría coincide ata principios do século XIX coa xeometría euclidiana. Isto define o punto , a recta e o plano como conceptos primitivos e asume a veracidade dalgúns axiomas , os axiomas de Euclides . Destes axiomas, dedúcense incluso teoremas complexos, como o teorema de Pitágoras e os teoremas da xeometría proxectiva .

A elección dos conceptos e axiomas primitivos está motivada polo desexo de representar a realidade, e en particular os obxectos do espazo tridimensional no que vivimos. Conceptos primitivos como a liña recta e o plano descríbense informalmente como "fíos e follas de papel sen grosor" e, por outra banda, moitos obxectos da vida real idealízanse a través de entidades xeométricas como o triángulo ou a pirámide . Deste xeito, desde tempos antigos, os teoremas proporcionaron ferramentas útiles para as disciplinas que se refiren ao espazo no que vivimos: mecánica , arquitectura , xeografía , navegación , astronomía .

Un hexágono non convexo . A suma dos ángulos internos nun hexágono é sempre de 720 °.

Xeometría plana

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría plana .

A xeometría plana trata de figuras xeométricas no plano. Partindo do concepto primitivo de recta, constrúense os segmentos e, polo tanto, os polígonos como o triángulo , o cadrado , o pentágono , o hexágono , etc.

As magnitudes numéricas importantes na xeometría plana son a lonxitude , o ángulo e a área . Cada segmento ten unha lonxitude e dous segmentos que se xuntan nun extremo forman un ángulo. Cada polígono ten unha área. Moitos teoremas de xeometría plana relacionan as lonxitudes, ángulos e áreas presentes nalgunhas figuras xeométricas. Por exemplo, a suma dos ángulos interiores dun triángulo resulta ser un ángulo plano e a área dun rectángulo exprésase como o produto das lonxitudes dos segmentos base e da altura . A trigonometría estuda as relacións entre ángulos e lonxitudes.

Xeometría sólida

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría sólida .
O dodecaedro é un dos cinco sólidos platónicos . Platón no Timeo cría que o dodecaedro representaba a forma do universo.

A xeometría sólida (ou estereometría) estuda as construcións xeométricas no espazo. Os poliedros , como o tetraedro , o cubo e a pirámide, constrúense con segmentos e polígonos.

Os poliedros teñen vértices, arestas e caras. Cada bordo ten unha lonxitude e cada cara ten unha área. Ademais, o poliedro ten un volume . Tamén falamos de ángulos diedros para expresar o ángulo formado por dúas caras adxacentes nun bordo. Moitos teoremas relacionan estas cantidades: por exemplo, o volume da pirámide pode expresarse a través da área da figura base e a lonxitude da altura.

As seccións cónicas ( circunferencia , elipse , parábola , hipérbola ) obtéñense como a intersección dun cono cun plano.

Figuras curvas

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: sección cónica .

A xeometría euclidiana tamén considera algunhas figuras curvas. As figuras "base" son a circunferencia no plano e a esfera no espazo, definida como o lugar xeométrico dos puntos equidistantes dun punto fixo. Partindo destas figuras, outras defínense como o cono . Estas cifras están asociadas a cantidades similares aos poliedros: falamos, polo tanto, da lonxitude da circunferencia, a área do círculo e o volume da esfera.

A intersección no espazo dun cono cun plano forma unha nova figura curvilínea: dependendo da inclinación do plano, trátase dunha elipse , unha parábola , unha hipérbola ou unha circunferencia . Estas seccións cónicas son as curvas máis sinxelas alcanzables no plano. Ao xirar unha figura arredor dunha liña recta, obtense outras figuras curvas. Por exemplo, xirando unha elipse ou unha parábola obtemos o elipsoide e o paraboloide . Unha vez máis, o volume do obxecto pode estar relacionado con outras cantidades. Non obstante, a xeometría euclidiana non proporciona ferramentas suficientes para dar unha definición correcta de lonxitude e área para moitas figuras curvas.

Xeometría cartesiana

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría analítica .
Un elipsoide pódese representar na xeometría analítica como un lugar de puntos que satisfaga unha determinada ecuación, como , nas variables asociado aos tres eixos cartesianos.

A xeometría cartesiana (ou analítica) incorpora as figuras e teoremas da xeometría euclidiana, introducindo novos grazas a outras dúas importantes disciplinas das matemáticas: álxebra e análise . O espazo (e o plano) represéntanse con coordenadas cartesianas . Deste xeito, cada figura xeométrica pode describirse a través dunha ou máis ecuacións (ou desigualdades ).

As liñas e os planos son obxectos resultantes de ecuacións de primeiro grao , mentres que as cónicas están definidas por ecuacións de segundo grao . As ecuacións polinómicas de grao superior definen novos obxectos curvados. O cálculo infinitesimal permite estender con precisión os conceptos de lonxitude e área a estas novas figuras. A integral é unha ferramenta analítica útil para determinar estas cantidades. Polo tanto, falamos en xeral de curvas e superficies no plano e no espazo.

Un espazo vectorial é unha colección de obxectos, chamados "vectores", que se poden engadir e cambiar de escala.

Espazos vectoriais

Icona de lupa mgx2.svg O mesmo tema en detalle: Álxebra lineal e espazo vectorial .

A liña (que pasa pola orixe), o plano (que contén a orixe) e o espazo son exemplos de espazos vectoriais de dimensión 1, 2 e 3 respectivamente: de feito cada punto exprésase respectivamente con 1, 2 ou 3 coordenadas. A xeometría cartesiana pódese estender facilmente a dimensións superiores: deste xeito defínense espazos de dimensión 4 e máis alá, como conxuntos de puntos con 4 ou máis coordenadas.

Grazas á álxebra lineal , o estudo de liñas e planos no espazo pódese estender ao estudo dos subespazos dun espazo vectorial de tamaño arbitrario. O estudo destes obxectos está intimamente relacionado co dos sistemas lineais e as súas solucións. Na dimensión superior, algúns resultados poden contrastar coa intuición xeométrica tridimensional á que estamos afeitos. Por exemplo, nun espazo de dimensión 4, dous planos poden cortarse só nun punto.

Xeometría afín

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría afín .
Dous planos no espazo son paralelos ou se cortan en liña recta, como se mostra na figura.

Nun espazo vectorial a orixe (é dicir, o punto desde o que parten os eixes, con todas as coordenadas cero) xoga un papel fundamental: para poder usar álxebra lineal de forma eficaz, só se consideran os subespazos que pasan pola orixe. Deste xeito obtemos relacións elegantes entre subespazos, como a fórmula de Grassmann .

Na xeometría afín abandónase o papel predominante da orixe. Os subespazos non están restrinxidos e, polo tanto, poden ser paralelos: isto crea unha cantidade considerable de máis casos. En particular, a fórmula de Grassmann xa non é válida. O espazo afín considérase (ata o descubrimento da relatividade especial) como a mellor ferramenta para crear modelos do universo, con 3 dimensións espaciais e posiblemente 1 dimensión temporal, sen "orixes" nin puntos privilexiados.

Xeometría alxébrica

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría alxébrica .

A partir do século XIX , a álxebra converteuse nunha ferramenta predominante para o estudo da xeometría. Nun intento de "embelecer" a imaxe e de devolver moitas propiedades e teoremas a un número cada vez menor de propiedades fundamentais, a xeometría analítica incorpórase progresivamente a un concepto máis amplo de xeometría: engádense "puntos ao infinito" (creando tan proxectiva xeometría ) e as coordenadas dun punto varían non só en números reais , senón tamén en complexos .

A xeometría proxectiva é a xeometría "vista por un ollo". Nesta xeometría, sempre se xuntan dúas liñas.

Xeometría proxectiva

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría proxectiva .

A xeometría proxectiva naceu como unha ferramenta ligada ao debuxo en perspectiva e formalizouse no século XIX como enriquecemento da xeometría cartesiana. A xeometría proxectiva inclúe "puntos ao infinito" e, polo tanto, elimina algúns casos considerados molestos, como a presenza de liñas paralelas.

Nesta xeometría simplifícanse moitas situacións: dous planos distintos sempre se cruzan en liña recta e diferentes obxectos de xeometría analítica (como a elipse cónica, a parábola e a hipérbola) resultan ser equivalentes neste novo contexto. A xeometría proxectiva tamén é un exemplo de compactificación : semellante ao que ocorre coa proxección estereográfica , ao engadir puntos ao infinito o espazo faise compacto , é dicir, "limitado", "finito".

Variedades alxébricas definidas por algúns polinomios sinxelos no plano: dous círculos , unha parábola , unha hipérbola , un cúbico (definido por unha ecuación de terceiro grao).

Variedades alxébricas

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: variedade alxébrica .

A xeometría alxébrica céntrase esencialmente no estudo dos polinomios e as súas raíces : os obxectos que trata, chamados variedades alxébricas , son os conxuntos do espazo proxectivo , afín ou euclidiano definidos como lugares de ceros de polinomios.

No século XX o concepto de variedade alxébrica asume cada vez maior importancia. As liñas, os planos, as cónicas, os elipsoides, son exemplos de variedades alxébricas. O estudo destes obxectos alcanza resultados impresionantes cando as coordenadas do espazo fan variar no campo dos números complexos : neste caso, grazas ao teorema fundamental da álxebra , un polinomio sempre ten raíces.

Este feito alxébrico de gran importancia (que se pode expresar dicindo que os números complexos forman un campo pechado alxébricamente ) ten como consecuencia a validez dalgúns teoremas poderosos de natureza moi xeral. Por exemplo, o teorema de Bézout afirma que dúas curvas de grao E no plano que non teñen compoñentes en común sempre se cruzan puntos, efectivo cunha multiplicidade adecuada. Este resultado require que o "plan" sexa proxectivo e complexo. En particular, é certamente falso no contexto clásico da xeometría analítica: dous círculos non necesariamente teñen que cruzarse en 4 puntos, tamén poden ser disxuntos.

O estudo da xeometría nun espazo proxectivo complexo tamén axuda a comprender a xeometría analítica clásica. As curvas no plano cartesiano real pódense ver por exemplo como "seccións" de obxectos máis grandes, contidos no complexo plano proxectivo, e os teoremas xerais válidos neste "mundo máis grande e perfecto" reflíctense no plano cartesiano, aínda que en menor medida elegante. Así como o estudo da xeometría afín fai un uso extensivo da álxebra lineal , o das variedades alxébricas baséase moito na álxebra conmutativa .

Xeometría diferencial

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría diferencial .
Un punto de sela ten curvatura negativa

A xeometría diferencial é o estudo de obxectos xeométricos a través da análise . Os obxectos xeométricos non están necesariamente definidos por polinomios (como na xeometría alxébrica), senón que son por exemplo curvas e superficies , é dicir, obxectos que, vistos localmente cunha lupa, aparecen case rectos ou planos. Obxectos "sen grosor", e quizais un pouco curvados. Como a superficie terrestre, que ao home lle parece plana, aínda que non o é.

Este concepto de "espazo curvo" exprésase a través da noción de variedade diferenciable . A súa definición nin sequera precisa "vivir" nun espazo ambiente e, polo tanto, úsase por exemplo na relatividade xeral para describir intrínsecamente a forma do universo. Unha variedade pode ter unha propiedade fundamental, a curvatura , que é medida por obxectos matemáticos moi complexos, como o tensor de Riemann . No caso no que o espazo é unha curva ou unha superficie, estes obxectos matemáticos son máis sinxelos: falamos por exemplo de curvatura gaussiana para superficies.

Nunha variedade con curvatura, chamada variedade riemanniana , defínese unha distancia entre puntos e xeodésica : son curvas que modelan camiños localmente máis curtos, como liñas rectas no plano ou meridianos na superficie terrestre.

Xeometrías non euclidianas

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría non euclidiana .
Triángulos, cuadriláteros e pentágonos forman unha teselación do plano na xeometría hiperbólica representada aquí polo disco de Poincaré . Esta xeometría non euclidiana está representada en moitas litografías por Maurits Escher .

Con xeometría diferencial é posible construír un "plano" no que todos os postulados de Euclides manteñan, excepto o quinto , o dos paralelos . Este postulado tiña unha importancia histórica fundamental, porque tardou 2000 anos en demostrar a súa independencia efectiva dos anteriores. Afirma que, fíxate unha liña recta e un punto non contida en , só hai unha liña paralelo a e pasando por .

Unha xeometría non euclidiana é unha xeometría na que se manteñen todos os axiomas de Euclides, excepto o dos paralelos. A esfera , con xeodésicos que xogan o papel de liñas, proporciona un exemplo sinxelo de xeometría non euclidiana: dúas xeodésicas sempre se cruzan en dous puntos antipodais e, polo tanto, non hai liñas paralelas. Un destes exemplos de xeometría chámase elíptico . Hai tamén exemplos opostos, nos que hai "tantas" liñas paralelas, que hai liñas paralelo a e transeúntes para son infinitos (e non un). Este tipo de xeometría chámase hiperbólica e é máis difícil de describir concretamente.

Topoloxía

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: Topoloxía .
A franxa de Möbius é unha superficie non orientable : de feito só ten unha "cara". Este é un obxecto estudado en topoloxía.

A topoloxía é finalmente o estudo das formas e de todas aquelas propiedades das entidades xeométricas que non cambian cando se deforman continuamente, sen rasgar. A topoloxía estuda todos os obxectos xeométricos (definidos alxébricamente, diferencial ou o que sexa) observando só a súa forma. Por exemplo, distingue a esfera do toro , porque este ten "un burato no medio". Estuda as propiedades da conexión (espazos "feitos dunha soa peza") e a compacidade (espazos "limitados") e as funcións continuas entre elas.

As formas dos obxectos están codificadas a través de obxectos alxébricos, como o grupo fundamental : un grupo que codifica de xeito refinado a presenza de "buratos" nun espazo topolóxico .

Xeometría e xeometrías

Icona de lupa mgx2.svg O mesmo tema en detalle: programa de Erlangen e xeometría das transformacións .

En 1872 Felix Klein elaborou un programa de investigación, o Programa Erlanger , capaz de producir unha gran síntese de coñecemento xeométrico e integralo con outras áreas da matemática, como a teoría de grupos.

Na perspectiva de Klein, unha xeometría consiste no estudo de propiedades dun espazo que son invariantes con respecto a un grupo de transformacións ( xeometría de transformacións ):

  • A xeometría euclidiana trata de propiedades que son invariantes con respecto ás isometrías , é dicir, transformacións que preservan lonxitudes e ángulos.
  • A xeometría afín trata de propiedades que son invariantes baixo transformacións afíns . No campo da xeometría afín, o concepto de "ángulo" ou "lonxitude" xa non ten sentido e todos os triángulos son "equivalentes".
  • A xeometría proxectiva estuda propiedades que son invariantes baixo transformacións proxectivas , é dicir, transformacións que se poden obter mediante proxeccións. No campo proxectivo todas as cónicas son equivalentes xa que poden ser transformadas entre si por unha proxección.
  • A topoloxía estuda propiedades que son invariantes baixo deformacións continuas . Dende o punto de vista topolóxico, unha cunca e unha rosca convértense en equivalentes podendo deformarse unha na outra pero permanecen distintas dunha esfera que non se pode "perforar" sen unha transformación discontinua.

Aplicacións

A xeometría analítica e a álxebra lineal proporcionan importantes vínculos entre a intuición xeométrica e o cálculo alxébrico que agora se converteron nunha parte constitutiva de todas as matemáticas modernas e as súas aplicacións en todas as ciencias. A xeometría diferencial atopou importantes aplicacións na construción de modelos para a física e a cosmoloxía . A xeometría plana e espacial tamén proporciona ferramentas para modelar, proxectar e construír obxectos reais nun espazo tridimensional: é polo tanto de fundamental importancia tanto en arquitectura e enxeñería como en debuxo e gráficos por computadora .

Xeometría descritiva

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: xeometría descritiva .
exemplo de conexión tanxencial entre dous cuadricios de rotación

A xeometría descritiva é unha disciplina que permite, mediante certas construcións gráficas, representar obxectos tridimensionais xa existentes ( relevo ) e / ou construírse ( deseño ). A aplicación informatizada de xeometría descritiva permite agora a creación de superficies e sólidos, incluso con alta complexidade tridimensional . Ademais, e sobre todo, permite o control inequívoco de todas as súas formas e tamaños . Os principais campos de uso da xeometría descritiva son os de arquitectura , enxeñaría e deseño industrial.

Bibliografía

  • Boris A. Dubrovin, Sergej P. Novikov, Anatolij T. Fomenko, Xeometría contemporánea: métodos e aplicacións , divididos en:
  • Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry , traduction et édition: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
  • Robin Hartshorne Geometry: Euclid and Beyond , Springer 2000, ISBN 0-387-98650-2
  • Federigo Enriques Preguntas relativas á xeometría elemental , Bologna Zanichelli 1900
  • Federigo Enriques , Ugo Amaldi Elements of Geometry for high school , Zanichelli Bologna 1903 (reedicións ata 1992)
  • Elementos e críticas antigas e modernas de Federigo Enriques Euclid , 4 volumes, Roma e Bolonia 1925
  • Federigo Enriques Leccións de xeometría descritiva , Bolonia 1893
  • Guido Castelnuovo Conferencias sobre xeometría analítica e proxectiva , Roma, Milán, 1905
  • Guido Castelnuovo Elementos de xeometría analítica e proxectiva Roma, 1909

Elementos relacionados

Outros proxectos

Ligazóns externas

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 6840 · LCCN ( EN ) sh85054133 · GND ( DE ) 4020236-7 · BNF ( FR ) cb119315301 (data) · NDL ( EN , JA ) 00565738
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica