Matemáticas

Da Wikipedia, a enciclopedia libre.
Ir á navegación Ir á busca
Euclides , matemático grego, imaxinado por Rafael na súa obra Escola de Atenas

A matemática (do grego μάθημα ( máthema ), que se pode traducir cos termos "ciencia", "coñecemento" ou "aprendizaxe"; [1] μαθηματικός ( mathematikós ) significa "inclinado a aprender") é a disciplina que estuda as cantidades ( números ), espazo , [2] estruturas e cálculos . [3] [4] [5]

Para a orixe do termo é preciso dirixirse á palabra exipcia maat , en cuxa composición aparece o símbolo do cóbado , un instrumento de medida lineal, un primeiro achegamento ao concepto matemático. O símbolo xeométrico desta orde é un rectángulo, do que xorde a cabeza emplumada da deusa exipcia Maat , personificación dos conceptos de orde, verdade e xustiza. Filla de Ra, a única creadora de todas as cousas, o seu poder demiúrxico está limitado e ordenado por leis naturais e matemáticas.

Ao comezo do papiro Rhind atopamos esta afirmación: " O cálculo preciso é a porta de entrada ao coñecemento de todas as cousas e aos misterios escuros ". O termo maat reaparece en copto, babilónico e grego. En grego a raíz ma , math , met entra na composición de palabras que conteñen as ideas de razón, disciplina, ciencia, educación, só medida, e en latín o termo materia indica o que se pode medir.

O termo matemática adoita referirse á disciplina (e ao seu corpo de coñecemento [6] ) que estuda problemas relativos a cantidades , [7] extensións e figuras espaciais, [7] movementos de corpos e todas as estruturas que permiten tratar con elas. agarda dun xeito xeral. As matemáticas fan un uso extensivo das ferramentas da lóxica e desenvolven o seu coñecemento no marco de sistemas hipotético-dedutivos que, partindo de definicións e axiomas rigorosos relativos ás propiedades dos obxectos definidos (resulta dun procedemento de abstracción , como triángulos , funcións , vectores, etc.) .), alcanza novas certezas, mediante probas , arredor de propiedades menos intuitivas dos propios obxectos (expresadas por teoremas ).

O poder e a xeneralidade dos resultados das matemáticas convertérona no alcume de raíña das ciencias : [8] toda disciplina científica ou técnica, desde a física á enxeñaría , desde a economía á informática , fai un uso extensivo das ferramentas de análise, cálculo e modelado. ofrecido polas matemáticas.

Descrición

Evolución e finalidade das matemáticas

Icona de lupa mgx2.svg O mesmo tema en detalle: Historia das Matemáticas e Número .
Papiro exipcio que se ocupa das matemáticas

As matemáticas teñen unha longa tradición entre todos os pobos da historia antiga e moderna; foi a primeira disciplina en adoptar métodos de alto rigor e alcance. Ampliou progresivamente os temas da súa investigación e ampliou progresivamente os sectores aos que pode proporcionar axudas computacionais e de modelado. É significativo que, nalgunhas linguas e nalgunhas situacións, se prefira a matemática plural sobre o termo singular.

No transcurso da súa longa historia e en diferentes ambientes culturais houbo períodos de gran progreso e períodos de estancamento nos estudos. [9] Isto débese en parte a personaxes individuais, capaces de aportar contribucións profundamente innovadoras e iluminadoras e de estimular a investigación matemática grazas ás súas habilidades didácticas. Tamén houbo períodos de retroceso de coñecementos e métodos, especialmente en relación a eventos destrutivos ou períodos de declive xeral na vida intelectual e civil. Nos últimos 500 anos, para a mellora dos medios de comunicación, prevaleceu o crecemento do patrimonio de resultados e métodos, debido á propia natureza das actividades matemáticas, dirixidas á exposición precisa de problemas e solucións; isto require comunicarse co obxectivo último de aclarar todos os detalles das construcións e resultados lóxicos (algunhas aclaracións requiren un compromiso nada desprezable, ás veces moitas décadas). Isto correspondeu á definición dunha lingua , unha ferramenta exemplar para a transmisión e ordenación do coñecemento.

Non se debe esquecer que na antigüidade (máis precisamente no período helenístico ), "matemática" refírese a un conxunto de disciplinas (xeometría, mecánica, óptica, hidrostática, astronomía, xeografía matemática, teoría musical e outros), é dicir, configurou no seu conxunto unha ciencia (véxase o sentido etimolóxico do termo) cunha estrutura lóxica interna rigorosa e fortes relacións coas aplicacións, é dicir, ter conexións coa tecnoloxía . A ciencia antiga desapareceu nalgunhas "ondas destrutivas", [10] [11] renacendo gradualmente subdivididas en varias disciplinas máis circunscritas.

Linguaxe e rigor matemático

Euler , que creou e popularizou gran parte da notación matemática usada actualmente

Da linguaxe matemática moderna, composta por símbolos recoñecidos en todo o mundo, a maioría introducíronse despois do século XVI. [12] Antes, as matemáticas escribíanse con palabras, un fatigante proceso que retardaba os descubrimentos matemáticos. [13] Euler (1707-1783) foi o responsable de moitas das notacións en uso na actualidade. A notación matemática moderna fai que o traballo do matemático sexa moito máis doado, pero aos principiantes parécelles desalentador. Está moi comprimido: poucos símbolos conteñen unha gran cantidade de información; do mesmo xeito que as notas musicais , a notación matemática moderna ten unha sintaxe rigorosa (que varía nunha medida limitada de autor a autor e de disciplina a disciplina) e codifica información difícil de escribir doutro xeito.

O símbolo do infinito (∞) en diferentes tipos de letra

A linguaxe matemática pode ser difícil para os principiantes. Palabras como ou e teñen significados precisos, máis que na lingua actual. Ademais, palabras como open e field teñen significados matemáticos específicos. A xerga matemática inclúe moitos termos técnicos, como homeomorfismo e integrable , porque as matemáticas requiren moita máis precisión que a linguaxe cotiá.

Nas probas matemáticas , o rigor é fundamental. Por rigor entendemos un uso lóxico e preciso dos teoremas xa probados, de xeito que, analizando a proba en profundidade a través dun proceso atrasado, chegamos a axiomas e definicións universalmente aceptados . O nivel de rigor requirido en matemáticas variou co paso do tempo: os gregos requirían argumentos detallados, pero para Isaac Newton o rigor empregado nas probas diminuíu. Os problemas derivados das definicións empregadas por Newton levaron ao renacemento dunha análise coidadosa das probas durante o século XIX . O significado do rigor matemático non sempre está claro. Por exemplo, os matemáticos seguen a discutir se as probas por computadora deben ser válidas: dado que os cálculos longos son difíciles de verificar, estas probas poden considerarse insuficientemente rigorosas. [14]

Os axiomas foron considerados "verdades evidentes" no pensamento tradicional, pero esta concepción ten algúns problemas. No plano formal, un axioma é só unha sucesión de símbolos , que ten un significado intrínseco só no contexto de todas as fórmulas derivables dun sistema axiomático . O obxectivo do programa de Hilbert era precisamente proporcionar ao conxunto das matemáticas unha sólida base axiomática, pero segundo o teorema de incompletude de Gödel, a axiomatización completa das matemáticas é imposible. A pesar diso, moitas veces imaxínase que as matemáticas consisten (polo menos no seu contido formal) na teoría de conxuntos nalgunha axiomatización, no sentido de que calquera enunciado ou proba matemática pode escribirse con fórmulas expresables dentro desa teoría. [15]

Matemáticas teóricas e aplicadas

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: Matemáticas Puras e Matemáticas Aplicadas .
Teorema de Pitágoras nunha escrita chinesa datada entre o 500 aC e o 200 aC . O teorema ten importantes implicacións prácticas e teóricas

As actividades matemáticas están naturalmente interesadas nas posibles xeneralizacións e abstraccións, en relación coas economías do pensamento e as melloras das ferramentas (en particular das ferramentas de cálculo) que se leva a realizar. Polo tanto, as xeneralizacións e abstraccións a miúdo levan a coñecementos máis profundos sobre problemas e establecen sinerxías relevantes entre proxectos de enquisas inicialmente dirixidos a obxectivos non relacionados.

Durante o desenvolvemento das matemáticas pódense identificar períodos e contornos nos que prevalecen alternativamente actitudes e valores xerais, atribuíbles a dous tipos diferentes de motivacións e enfoques: motivacións aplicativas , co seu impulso para identificar procedementos eficaces e as necesidades de acomodación conceptual. co seu desexo de xeneralizacións, abstraccións e panoramas estruturais.

Estes son dous tipos de actitudes entre as que se forma unha certa polarización; isto ás veces pode converterse nunha oposición, incluso amarga, pero en moitas circunstancias as dúas actitudes establecen relacións de enriquecemento mutuo e desenvolven sinerxías. No longo desenvolvemento das matemáticas houbo períodos de prevalencia dunha ou outra das dúas actitudes e dos seus respectivos sistemas de valores.

Ademais, o propio nacemento das matemáticas pode razoablemente rastrexarse ​​en dous tipos de intereses: por un lado, as necesidades de aplicación que levan á busca de avaliacións practicables; por outra banda, a procura de verdades que sexan de todo menos evidentes, quizais gardadas ocultas, que responda a necesidades inmateriais, cuxa natureza pode ser filosófica, relixiosa ou estética.

Nos últimos 30 ou 40 anos, hai un certo equilibrio entre as dúas actitudes, non sen tensións reaparecidas, senón con múltiples episodios de apoio mutuo. O crecemento do mundo da informática contribúe non pouco a este estado de cousas, respecto ao cal o mundo das matemáticas presenta tanto canles de conexión (que agora é absurdo tratar de interromper) como diferenzas, por exemplo diferenzas debido ás diferentes taxas de mutación e diferentes estilos de comunicación, que proxectan as dúas disciplinas ás antípodas.

Temas principais

Mesa aritmética para nenos, Lausana 1835

Tentemos agora esbozar os temas da investigación matemática, ilustrando unha especie de itinerario para unha progresiva xustaposición de problemas, argumentos e arranxos teóricos.

Aritmética

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: Aritmética .

Os primeiros problemas que levan a abordar as matemáticas son os que se poden afrontar coa aritmética elemental: os cálculos que se poden realizar coas catro operacións poden referirse a contabilidade financeira, avaliacións de cantidades xeométricas ou mecánicas , cálculos relativos aos obxectos e técnicas atopadas no día a día. vida.

O máis sinxelo destes cálculos pódese facer usando só enteiros naturais , pero os problemas de cálculo pronto requiren saber como tratar con enteiros relativos e números racionais .

Álxebra

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: Álxebra .
Páxina de álxebra de al-Khwarizmi

Os problemas aritméticos máis sinxelos resólvense mediante fórmulas que dan resultados consecuentes. Por exemplo: a área dun rectángulo con lados longos E é o seu produto . Complicando as frases faise necesario empregar ecuacións . Por exemplo: polo teorema de Pitágoras , se un triángulo rectángulo ten os lados máis curtos ( patas ) de lonxitude E , a máis longa ( hipotenusa ) ten o número positivo como lonxitude que resolve a ecuación:

.

As ecuacións máis simples son ecuacións lineais , tanto porque representan as cuestións xeométricas máis simples, como porque poden resolverse con procedementos estándar.

Nas fórmulas e ecuacións é recomendable incluír parámetros con valores indeterminados: deste xeito, están dispoñibles ferramentas dun alcance máis xeral, que permiten acadar economías de pensamento evidentes. Por exemplo: nun triángulo rectángulo con patas de lonxitude E , a lonxitude da hipotenusa é o número positivo tal que . Para avaliar mellor as fórmulas e resolver moitos tipos de ecuacións, é necesario desenvolver un cálculo literal que permita a súa reelaboración. As regras deste cálculo literal constitúen a chamada álxebra elemental .

A álxebra moderna tamén se ocupa do estudo das relacións entre conxuntos e estruturas alxébricas , é dicir, estruturas que caracterizan conxuntos concretos (como os números) ou abstractos nos que se definiron unha ou máis operacións.

Xeometría

Muller ensinando xeometría.jpg
Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: Xeometría .

O estudo da xeometría plana e espacial refírese inicialmente a conceptos primitivos : o punto , a recta , o plano . Ao combinar estes elementos no plano ou no espazo , obtéñense outros obxectos como segmentos , ángulos , ángulos sólidos , polígonos e poliedros .

Punto, liña, plano e espazo teñen dimensións 0, 1, 2 e 3. Respectivamente, mediante cálculo vectorial defínense e estudanse espazos cunha dimensión superior (incluso infinita ). Os análogos "curvados" destes espazos "planos" son as curvas e as superficies , de dimensión 1 e 2, respectivamente. Un espazo curvo en dimensión arbitraria chámase colector . Dentro deste espazo pódense definir a miúdo puntos e liñas (chamados xeodésicos ), pero a xeometría resultante pode non satisfacer os axiomas de Euclides : tal xeometría xeralmente chámase non euclidiana . Un exemplo é a superficie terrestre , que contén triángulos que teñen os tres ángulos rectos.

Análises

Icona de lupa mgx2.svg Mesmo tema en detalle: Análise matemática .

A análise refírese principalmente ao cálculo infinitesimal , introduce a noción fundamental de límite e, polo tanto, de derivada e integral . Con estas ferramentas analízanse os comportamentos das funcións , que moitas veces non teñen unha descrición explícita pero son solucións dunha ecuación diferencial , derivada por exemplo dun problema físico .

Sectores

Un ábaco , un medio de cálculo sinxelo empregado desde a antigüidade

Como se informou anteriormente, as principais disciplinas desenvolvidas dentro das matemáticas xurdiron pola necesidade de realizar cálculos no comercio, comprender as relacións entre números, medir a terra e predicir eventos astronómicos. Estas catro necesidades poden estar aproximadamente relacionadas coa descomposición das matemáticas no estudo da cantidade, estrutura, espazo e cambio (é dicir, aritmética , álxebra , xeometría e análise matemática ). Ademais destas, hai outras subdivisións como a lóxica , a teoría de conxuntos , a matemática empírica de varias ciencias (matemática aplicada) e máis recentemente o estudo rigoroso da incerteza .

Cantidade

O estudo das cantidades comeza cos números , en primeiro lugar cos números naturais ( enteiros non negativos ) e a través de operacións aritméticas neles. As propiedades máis profundas dos números enteiros estúdanse na teoría dos números , dos cales un famoso exemplo é o último teorema de Fermat . A teoría dos números tamén presenta dous problemas sen resolver, amplamente considerados e discutidos: a conxectura de Twin Prime e a conxectura de Goldbach .

Os números enteiros son recoñecidos como un subconxunto de números racionais (" fraccións "). Estes, á súa vez, están contidos en números reais , usados ​​para representar cantidades continuas. Os números reais xeneralízanse máis aló dos números complexos . Estes son os primeiros pasos nunha xerarquía de números que segue a incluír cuaternións e octonións . A análise dos números naturais tamén leva a números infinitos.

Números naturais Números enteiros Números racionais Números reais Números complexos

Ferramentas

Aritmética Álxebra Análises
Vector field.svg
Cálculo de vectores Cálculo de tensores Ecuacións diferenciais
Diagrama de bloques.png LorenzAttractor.png Daubechies20LowPassHighPass2DFilter.png
Teoría de sistemas Teoría do caos Lista de funcións

Ferramentas informáticas

Entre as ferramentas informáticas dos últimos anos dispoñíronse varios tipos de paquetes de software destinados a automatizar a execución de cálculos numéricos, o procesamento simbólico, a construción de gráficos e contornos de visualización e, en consecuencia, dirixidos a facilitar o estudo das matemáticas e o desenvolvemento de aplicacións que poidan en realidade sexa impactante.

A importancia e eficacia particular son asumir o que se chaman sistemas de álxebra computacional ou incluso co termo inglés Computer algebra systems , abreviado con CAS .

Sinalamos algúns programas de código aberto ou en calquera caso dispoñibles gratuitamente para o estudo das matemáticas:

Logotipo de Maxima Maxima é un completo sistema de álxebra por computadora (CAS) escrito en Lisp . Está baseado en DOE-MACSYMA e distribúese baixo a licenza GNU GPL . http://maxima.sourceforge.net/
Logotipo de Scilab Scilab é un software creado para computación numérica , que inclúe un gran número de funcións desenvolvidas para aplicacións científicas e de enxeñaría . Utiliza unha sintaxe análoga a MATLAB , permite a adición de novas funcións escritas en varias linguas ( C , Fortran ...) e xestiona varios tipos de estruturas (listas, polinomios , funcións racionais , sistemas lineais). https://web.archive.org/web/20040727171441/http://scilabsoft.inria.fr/
Logotipo R. R é un contorno de desenvolvemento específico para a análise de datos estatísticos que usa unha linguaxe de programación derivada e en gran parte compatible con S. Foi escrito orixinalmente por Robert Gentleman e Ross Ihaka . http://www.r-project.org/
Logotipo da octava GNU Octave é unha linguaxe de alto nivel deseñada principalmente para computación numérica e desenvolvida inicialmente por JW Eaton e outros (compatible con MATLAB ). http://www.octave.org

Estruturas

Moitos obxectos matemáticos, como conxuntos de números e funcións , presentan a súa estrutura interna e coherente. As propiedades estruturais destes obxectos son investigadas no estudo de grupos , aneis , campos e outros sistemas abstractos, que son eles mesmos obxectos. Este é o campo da álxebra abstracta . Neste campo un concepto importante está representado por vectores , xeneralizados no espazo vectorial e estudados en álxebra lineal . O estudo dos vectores combina tres das áreas fundamentais das matemáticas: cantidade, estrutura e espazo. O cálculo vectorial expande o campo nunha cuarta área fundamental, a das variacións.

Espazos

O estudo do espazo comeza coa xeometría , en particular coa xeometría euclidiana . A trigonometría combina entón espazo e números simultaneamente. O estudo moderno do espazo xeneraliza estas premisas incluíndo xeometría non euclidiana (que xoga un papel central na teoría da relatividade xeral ) e topoloxía . A cantidade e o espazo trátanse simultaneamente en xeometría analítica, xeometría diferencial e xeometría alxébrica . Coa xeometría alxébrica temos a descrición de obxectos xeométricos como conxuntos de solucións de ecuacións polinómicas combinando os conceptos de cantidade e espazo, e tamén o estudo de grupos topolóxicos , que á súa vez combinan espazo e estruturas. Os grupos de mentiras úsanse para estudar o espazo, as estruturas e as variacións. A topoloxía en todas as súas múltiples ramificacións pode considerarse a maior área de desenvolvemento das matemáticas do século XX e inclúe a conxectura de Poincaré e o controvertido teorema das catro cores , do que a única proba baseada en ordenador nunca foi verificada por un humano.

Matemáticas discretas

Matemáticas discretas é o nome común para os campos da matemática empregados na maioría dos casos en informática teórica . Isto inclúe a teoría da computación, a teoría da complexidade computacional e a informática teórica . A teoría da computación examina as limitacións de varios modelos de computadores, incluídos os modelos máis poderosos coñecidos: a máquina de Turing . A teoría da complexidade é o estudo das posibilidades de tratamento por un ordenador; algúns problemas, a pesar de ser teoricamente solucionables a través dunha computadora, son demasiado caros en termos de tempo ou espazo, tanto que a súa resolución é practicamente imposible, incluso esperando un rápido aumento da potencia de computación. Finalmente, a teoría da información está preocupada pola cantidade de datos que se poden almacenar nun evento ou soporte determinado e, polo tanto, con conceptos como a compresión de datos e a entropía .

Como un campo relativamente novo, a matemática discreta ten un gran número de problemas abertos. O máis famoso deles é o problema " P = NP? " , Un dos problemas do milenio . [16]

Venn A cruza B.svg DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
Cálculo combinatorio Teoría inxenua de conxuntos Teoría da computación Cifrado Teoría de gráficos

Matemáticas aplicadas

A matemática aplicada considera o uso da matemática teórica como unha ferramenta utilizada para resolver problemas concretos en ciencias , negocios e moitas outras áreas. Un campo importante das matemáticas é a estatística , que utiliza a teoría da probabilidade e permite a descrición, análise e predición de fenómenos aleatorios. A maioría dos experimentos, investigacións e estudos observacionais requiren o uso de estatísticas (moitos estatísticos, con todo, non se consideran auténticos matemáticos, senón como parte dun grupo conectado a eles). A análise numérica investiga métodos computacionais para resolver de xeito eficiente unha ampla gama de problemas matemáticos que, en xeral, son demasiado grandes para as capacidades informáticas humanas; inclúe o estudo de varios tipos de erros que xeralmente se producen no cálculo.

Gravitation space source.png BernoullisLawDerivationDiagram.png Máximo boxed.png Dous vermellos di 01.svg Oldfaithful3.png Índice de datos de mercado NYA en 20050726 202628 UTC.png Arbitenary-gametree-solved.png
Física matemática Dinámica de fluídos matemática Optimización Probabilidade Estatísticas Matemáticas financeiras Teoría do xogo

Nota

  1. Matemáticas, Matemáticas, en etimo.it , Vocabulario etimolóxico da lingua italiana de Ottorino Pianigiani. .
  2. Kneebone , páx. 4 .

    "A matemática ... é simplemente o estudo de estruturas abstractas ou patróns formais de conexión"

  3. ^ LaTorre , p. 2 .

    "O cálculo é o estudo do cambio: como cambian as cousas e a rapidez con que cambian"

  4. ^ Ramana , p. 2.10 .

    "O estudo matemático do cambio, movemento, crecemento ou decadencia é cálculo"

  5. Ziegler , p. 7, cap. Que son as matemáticas? .
  6. Acta Eruditorum , Leipzig, 1734, p. 28. Consultado o 22 de maio de 2018 .
  7. ^ a b Oxford English Dictionary , lema 'Matemáticas'.
    ( EN )

    "A ciencia do espazo, número, cantidade e disposición, cuxos métodos implican o razoamento lóxico e normalmente o uso da notación simbólica, e que inclúe xeometría, aritmética, álxebra e análise".

    ( IT )

    "A ciencia do espazo, números, cantidade e disposición, cuxos métodos implican o razoamento lóxico e, normalmente, o uso da notación simbólica, e que inclúe xeometría, aritmética, álxebra e 'análises".

    ( Nota do editor a tradución ao italiano non é oficial )
  8. Sartorius von Waltershausen .
  9. ^ Boyer , p. 243 .
  10. ^ Reviel Netz, Review ofː The Forgotten Revolution. Pensamento científico grego e ciencia moderna. Por Lucio Russo , en Historia Mathematica , vol. 29, n. 1, 2002-02, pp. 72-73, DOI : 10.1006 / hmat . 2001.2310 . Consultado o 29 de outubro de 2020 .
  11. Russo Lucio, A revolución esquecida , 1a ed., Feltrinelli, 1996, ISBN 9788807102103 .
  12. ^ (EN) Usos máis antigos de varios símbolos matemáticos , en jeff560.tripod.com, http://jeff560.tripod.com/ .
  13. ^ Vexa , por exemplo, os escritos de Diofanto de Alexandría .
  14. Peterson , p. 4 .

    "Algúns quéixanse de que o programa de ordenador non se pode verificar correctamente"

  15. ^ Suppes , p. 1 .

    «Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects.»

  16. ^ P != NP (o no?) , Il Post, 9 agosto 2010. URL consultato il 22 novembre 2014 .

Bibliografia

Letture introduttive

Approfondimenti

  • ( DE ) Wolfgang Sartorius von Waltershausen, Gauss zum Gedächtniss , Sändig Reprint Verlag HR Wohlwend, 1856, ISBN 3-253-01702-8 .
  • Morris Kline (1981): Mathematics - The loss of Certainty . Oxford University Press (1980). (Esposizione di livello medio dei cambiamenti di concezione della matematica che si sono imposti nel XX secolo .)
  • Björn Engquist, Wilfried Schmid eds. (2001): Mathematics Unlimited - 2001 and beyond , Springer. Raccolta di una ottantina di articoli di matematici militanti sullo stato corrente e sulle prospettive della ricerca matematica.
  • Ivars Peterson, The Mathematical Tourist , Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3 .
  • Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory , Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4 .

Voci correlate

Teoremi e congetture famose
Fondamenti e metodi
Matematica e storia

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 2600 · LCCN ( EN ) sh85082139 · GND ( DE ) 4037944-9 · BNF ( FR ) cb11932434c (data) · BNE ( ES ) XX4576260 (data) · NDL ( EN , JA ) 00571521